Analysis Beispiele

$\frac{x}{x + 9}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 9$ .

$\frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $x + 9$ mit $1$ .

$\frac{x + 9 - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x + 9 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 9 - x (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 9 - x (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 9 - x \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 9 - x}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Addiere $0$ und $9$ .

$\frac{9}{{(x + 9)}^{2}}$