Analysis Beispiele

$\frac{x}{{(9 x - 4)}^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(9 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{({(9 x - 4)}^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 x - 4)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere ${(9 x - 4)}^{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 9 x - 4$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x - 4$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x - 4$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (3 {(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere ${(9 x - 4)}^{2}$ aus ${(9 x - 4)}^{3} - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere ${(9 x - 4)}^{2}$ aus ${(9 x - 4)}^{3}$ heraus.

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere ${(9 x - 4)}^{2}$ aus $- 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])$ heraus.

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) + {(9 x - 4)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere ${(9 x - 4)}^{2}$ aus ${(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) + {(9 x - 4)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))$ heraus.

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere ${(9 x - 4)}^{2}$ aus ${(9 x - 4)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{2} {(9 x - 4)}^{4}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{2} {(9 x - 4)}^{4}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Schritt 7

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Schritt 10

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 + 0)}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Schritt 11

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 11.1

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x \cdot 9}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$\frac{9 x - 4 - 27 x}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Schritt 11.3

Subtrahiere $27 x$ von $9 x$ .

$\frac{- 18 x - 4}{{(9 x - 4)}^{4}}$