Analysis Beispiele

$\frac{x}{5} - \frac{5}{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{5} - \frac{5}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{5} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{1}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{5} - 5 (- x^{- 2})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{1}{5} + 5 x^{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{5}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{5}$