Analysis Beispiele

$2 \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (\sec (x) + \tan (x))$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x) + \tan (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x) + \tan (x)$ .

$2 (\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ und $2$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec (x) + \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 5

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren von $\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ um.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \tan (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 6.3

Multipliziere $\sec (x) \tan (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ und $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ und $\tan (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 6.4

Kombiniere $\sec^{2} (x)$ und $\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x) \cdot 2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 6.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $2 \sec (x)$ aus $2 \sec (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $2 \sec (x)$ aus $2 \sec (x) \tan (x)$ heraus.

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 6.7.2

Faktorisiere $2 \sec (x)$ aus $2 \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec (x) (\sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 6.7.3

Faktorisiere $2 \sec (x)$ aus $2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec (x) (\sec (x))$ heraus.

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$