Analysis Beispiele

$2 x {(4 - x)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(4 - x)}^{2}$ als $(4 - x) (4 - x)$ um.

$\frac{d}{d x} [2 x ((4 - x) (4 - x))]$

Schritt 2

Multipliziere $(4 - x) (4 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 (4 - x) - x (4 - x))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x))]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - x (- x))]$

Schritt 3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2})]$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + x^{2})]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 8 x + x^{2})]$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x (16 - 8 x + x^{2})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 16 - 8 x + x^{2}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}] + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - 8 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$2 (x (- 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \cdot 1)$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $16 - 8 x + x^{2}$ mit $1$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x \cdot - 8 + x (2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x \cdot - 8) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Schritt 7.3

Vereine die Terme

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Schritt 7.3.1

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (- 8 \cdot x) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$- 16 x + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Schritt 7.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Schritt 7.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Schritt 7.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x + 2 (2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Schritt 7.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- 16 x + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Schritt 7.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Schritt 7.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Schritt 7.3.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 - 16 x + 2 x^{2}$

Schritt 7.3.10

Subtrahiere $16 x$ von $- 16 x$ .

$- 32 x + 4 x^{2} + 32 + 2 x^{2}$

Schritt 7.3.11

Addiere $4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$- 32 x + 6 x^{2} + 32$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$6 x^{2} - 32 x + 32$