Analysis Beispiele

$24 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x^{2} + x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + x$ .

$24 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$24 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + x$ .

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$24 (\frac{2 {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 9

Bringe ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 (\frac{2}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{2}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ und $24$ .

$\frac{2 \cdot 24}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$\frac{48}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 12

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$\frac{3 \cdot 16}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 16}{3 ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 16}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 1)$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Stelle die Faktoren von $\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 1)$ um.

$(2 x + 1) \frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $2 x + 1$ mit $\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 17.3

Bringe $16$ auf die linke Seite von $2 x + 1$ .

$\frac{16 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$