Analysis Beispiele

$2 x^{2} - 8 \sqrt{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 8 \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 x - 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.10

Kombiniere $- 8$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 x + \frac{- 8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.12

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$