Analysis Beispiele

$2 + x^{2} + \tan (\frac{π x}{2})$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x^{2} + \tan (\frac{π x}{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\tan (\frac{π x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\tan (\frac{π x}{2})]$

Schritt 1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\tan (\frac{π x}{2})]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d x} [\tan (\frac{π x}{2})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan (\frac{π x}{2})]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π x}{2}$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$0 + 2 x + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π x}{2}$ .

$0 + 2 x + \sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Schritt 2.2

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 x + \sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 x + \sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \cdot 1)$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$0 + 2 x + \sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{π}{2}$

Schritt 2.5

Kombiniere $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ und $\frac{π}{2}$ .

$0 + 2 x + \frac{\sec^{2} (\frac{π x}{2}) π}{2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x + \frac{\sec^{2} (\frac{π x}{2}) π}{2}$

Schritt 3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\sec^{2} (\frac{π x}{2}) π}{2} + 2 x$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $\frac{\sec^{2} (\frac{π x}{2}) π}{2} + 2 x$ um.

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} + 2 x$