Analysis Beispiele

$2 x e^{- x} + e^{2 x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x e^{- x} + e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{- x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 e^{2 x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$ um.

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$