Analysis Beispiele

$2 x e^{5 x^{3}}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{5 x^{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x e^{5 x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{5 x^{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{5 x^{3}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x^{3}}] + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x^{3}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{3}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{3}$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (5 (3 x^{2}))) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (15 x^{2})) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} x^{1} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (x^{2 + 1} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Addiere $2$ und $1$ .

$2 (x^{3} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Bringe $15$ auf die linke Seite von $e^{5 x^{3}}$ .

$2 (x^{3} (15 \cdot e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}} \cdot 1)$

Schritt 9

Mutltipliziere $e^{5 x^{3}}$ mit $1$ .

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}})) + 2 e^{5 x^{3}}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$30 x^{3} e^{5 x^{3}} + 2 e^{5 x^{3}}$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$30 e^{5 x^{3}} x^{3} + 2 e^{5 x^{3}}$

Schritt 10.4

Stelle die Faktoren in $30 e^{5 x^{3}} x^{3} + 2 e^{5 x^{3}}$ um.

$30 x^{3} e^{5 x^{3}} + 2 e^{5 x^{3}}$