Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x - 4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x - 4}$ als ${(x - 4)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2}$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{{((3) - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Schritt 6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (3) = - 1 \cdot 1$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (3) = - 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 6.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{{((5) - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (5) = - 1 \cdot 1$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (5) = - 1$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 7.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(4, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(4, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Schritt 9