Analysis Beispiele

$5 x^{4} + 20 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $5 x^{4} + 20 x^{3}$ als Funktion.

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} + 20 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{3}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x^{3} + 60 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{3}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60 x^{2}$ nach $x$ gleich $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $60$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $60 x^{2} + 120 x$ .

$60 x^{2} + 120 x$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $60 x^{2} + 120 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$60 x^{2} + 120 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $60 x$ aus $60 x^{2} + 120 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $60 x$ aus $60 x^{2}$ heraus.

$60 x (x) + 120 x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $60 x$ aus $120 x$ heraus.

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $60 x$ aus $60 x (x) + 60 x (2)$ heraus.

$60 x (x + 2) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $60 x (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 5 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 20 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 20 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $- 2$ in $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$f (- 2) = 80 + 20 {(- 2)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = 80 + 20 \cdot - 8$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $- 8$ .

$f (- 2) = 80 - 160$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $160$ von $80$ .

$f (- 2) = - 80$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 80$ .

$- 80$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, - 80)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, - 80)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- 2, - 80)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $120$ mit $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $252$ von $264.6$ .

$f'' (- 2.1) = 12.6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $12.6$ .

$12.6$

Schritt 6.3

Bei $- 2.1$ ist die zweite Ableitung $12.6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 2)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $1$ .

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $120$ mit $- 1$ .

$f'' (- 1) = 60 - 120$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $120$ von $60$ .

$f'' (- 1) = - 60$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 60$ .

$- 60$

Schritt 7.3

Bei $- 1$ , die zweite Ableitung ist $- 60$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2, 0)$

Abfallend im Intervall $(- 2, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $120$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

Schritt 8.2.2

Addiere $0.6$ und $12$ .

$f'' (0.1) = 12.6$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $12.6$ .

$12.6$

Schritt 8.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $12.6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 2, - 80), (0, 0)$ .

$(- 2, - 80), (0, 0)$

Schritt 10