Analysis Beispiele

$30 \ln (2 x + 1)$

Schritt 1

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 \ln (2 x + 1)$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$30 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$30 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$30 (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x + 1}$ und $30$ .

$\frac{30}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{30}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{30}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{30}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{30}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{30}{2 x + 1} (2 + 0)$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{30}{2 x + 1} \cdot 2$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{30}{2 x + 1}$ und $2$ .

$\frac{30 \cdot 2}{2 x + 1}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $30$ mit $2$ .

$\frac{60}{2 x + 1}$