Analysis Beispiele

$4 \sqrt{9 x^{2} + 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 x^{2} + 3}$ als ${(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 x^{2} + 3$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x^{2} + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x^{2} + 3$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 9

Bringe ${(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

Schritt 11

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

Schritt 13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 14

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 16

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 17

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0)$

Schritt 18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 18.1

Addiere $18 x$ und $0$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (18 x)$

Schritt 18.2

Kombiniere $18$ und $\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$\frac{36}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 18.4

Kombiniere $\frac{36}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{36 x}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$