Analysis Beispiele

$3 \arccos (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \arccos (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{x}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arccos (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$- \frac{3}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \cdot 1$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$- \frac{3}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$