Analysis Beispiele

$3 \sin (x) \tan (x)$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (x) \tan (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$3 (\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 (\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\sin (x) \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) \cos (x))$

Schritt 5.2

Entferne die Klammern.

$3 \sin (x) \sec^{2} (x) + 3 \tan (x) \cos (x)$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$3 \sec^{2} (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \tan (x)$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$3 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 3 \cos (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$3 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{3}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.5

Kombiniere $\frac{3}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 \cos (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.6

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.6.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\cos (x) \tan (x))$

Schritt 5.4.6.2

Stelle $\cos (x)$ und $\tan (x)$ um.

$\frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\tan (x) \cos (x))$

Schritt 5.4.6.3

Schreibe $3 \cos (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))$

Schritt 5.4.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 3 \sin (x)$

Schritt 5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{3 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 3 \sin (x)$

Schritt 5.5.2

Separiere Brüche.

$\frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 3 \sin (x)$

Schritt 5.5.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{3}{\cos (x)} \tan (x) + 3 \sin (x)$

Schritt 5.5.4

Separiere Brüche.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + 3 \sin (x)$

Schritt 5.5.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{3}{1} \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)$

Schritt 5.5.6

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sin (x)$