Analysis Beispiele

$4 (4 x^{3}) (2 - 9 x^{6})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3} (2 - 9 x^{6})]$

Schritt 1.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{3} (2 - 9 x^{6})$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{3} (2 - 9 x^{6})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3} (2 - 9 x^{6})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 - 9 x^{6}$ .

$16 (x^{3} \frac{d}{d x} [2 - 9 x^{6}] + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 9 x^{6}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{6}]$ .

$16 (x^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{6}]) + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$16 (x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{6}]) + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 9 x^{6}]$ .

$16 (x^{3} \frac{d}{d x} [- 9 x^{6}] + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{6}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$16 (x^{3} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{6}]) + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$16 (x^{3} (- 9 (6 x^{5})) + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 9$ .

$16 (x^{3} (- 54 x^{5}) + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{5}$ .

$16 (x^{5} x^{3} \cdot - 54 + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 (x^{5 + 3} \cdot - 54 + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.3

Addiere $5$ und $3$ .

$16 (x^{8} \cdot - 54 + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 5

Bringe $- 54$ auf die linke Seite von $x^{8}$ .

$16 (- 54 \cdot x^{8} + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$16 (- 54 x^{8} + (2 - 9 x^{6}) (3 x^{2}))$

Schritt 7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 - 9 x^{6}$ .

$16 (- 54 x^{8} + 3 \cdot (2 - 9 x^{6}) x^{2})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (- 54 x^{8} + (3 \cdot 2 + 3 (- 9 x^{6})) x^{2})$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (- 54 x^{8} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 (- 9 x^{6}) x^{2})$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (- 54 x^{8}) + 16 (3 \cdot 2 x^{2}) + 16 (3 (- 9 x^{6}) x^{2})$

Schritt 8.4

Vereine die Terme

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $- 54$ mit $16$ .

$- 864 x^{8} + 16 (3 \cdot 2 x^{2}) + 16 (3 (- 9 x^{6}) x^{2})$

Schritt 8.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- 864 x^{8} + 16 (6 x^{2}) + 16 (3 (- 9 x^{6}) x^{2})$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $16$ .

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} + 16 (3 (- 9 x^{6}) x^{2})$

Schritt 8.4.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} + 16 (- 27 x^{6} x^{2})$

Schritt 8.4.5

Multipliziere $x^{6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} + 16 (- 27 (x^{2} x^{6}))$

Schritt 8.4.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} + 16 (- 27 x^{2 + 6})$

Schritt 8.4.5.3

Addiere $2$ und $6$ .

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} + 16 (- 27 x^{8})$

Schritt 8.4.6

Mutltipliziere $- 27$ mit $16$ .

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} - 432 x^{8}$

Schritt 8.4.7

Subtrahiere $432 x^{8}$ von $- 864 x^{8}$ .

$- 1296 x^{8} + 96 x^{2}$