Analysis Beispiele

$3 x \arctan (5 x)$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x \arctan (5 x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \arctan (5 x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 (x)$ an.

$3 (x (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ und $x$ .

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Kombiniere $5$ und $\frac{x}{1 + 25 x^{2}}$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}}$ mit $1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \cdot 1)$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $\arctan (5 x)$ mit $1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x))$

Schritt 5

Um $\arctan (5 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + 25 x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \frac{\arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 7

Kombiniere $3$ und $\frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) \cdot 1 + \arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (5 x) + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15 x + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Mutltipliziere $\arctan (5 x)$ mit $1$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 8.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (25 \arctan (5 x) x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 8.3.1.4

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 8.3.2

Stelle die Faktoren in $15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}$ um.

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 x^{2} \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{75 x^{2} \arctan (5 x) + 15 x + 3 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$