Analysis Beispiele

$5 \log ({(2)}^{x + 10})$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \log (2^{x + 10})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = 2^{x + 10}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2^{x + 10}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$5 (\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)}$ und $5$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 2^{x}$ und $g (x) = x + 10$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 10$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 10])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 10$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{x + 10} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2^{x + 10}$ und $\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ .

$\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Schritt 5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\ln (2)$ und $\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ .

$\frac{\ln (2) (2^{x + 10} \cdot 5)}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Schritt 5.2.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.2.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $2^{x + 10}$ .

$\frac{\ln (2) (5 \cdot 2^{x + 10})}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Schritt 5.2.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\ln (2)$ .

$\frac{5 \cdot \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{x + 10}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Schritt 5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + \frac{d}{d x} [10])$

Schritt 5.5

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + 0)$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \cdot 1$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$ mit $1$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Vereinfache $5 \ln (2)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (2^{5})}{\ln (10)}$

Schritt 6.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{\ln (32)}{\ln (10)}$