Analysis Beispiele

$5 e^{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [5 e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $5$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}$ und $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 12.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$