Analysis Beispiele

$4 \tan (5 x) \sec (5 x)$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \tan (5 x) \sec (5 x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\tan (5 x) \sec (5 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan (5 x) \sec (5 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \tan (5 x)$ und $g (x) = \sec (5 x)$ .

$4 (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)] + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$4 (\tan (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$4 (\tan (5 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$4 (\tan (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 4

Potenziere $\tan (5 x)$ mit $1$ .

$4 (\tan^{1} (5 x) \tan (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 5

Potenziere $\tan (5 x)$ mit $1$ .

$4 (\tan^{1} (5 x) \tan^{1} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 ({\tan (5 x)}^{1 + 1} (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (\tan^{2} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 7.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \cdot 1) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$4 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x) \cdot 5 + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 7.4.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$ .

$4 (5 \cdot (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 8.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec (5 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 9

Potenziere $\sec (5 x)$ mit $1$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{2} (5 x) \sec^{1} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + {\sec (5 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 11

Addiere $2$ und $1$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 12

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) (5 \cdot 1))$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) \cdot 5)$

Schritt 14.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sec^{3} (5 x)$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 5 \cdot \sec^{3} (5 x))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x)) + 4 (5 \sec^{3} (5 x))$

Schritt 15.2

Vereine die Terme

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)) + 4 (5 \sec^{3} (5 x))$

Schritt 15.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 20 \sec^{3} (5 x)$