Analysis Beispiele

$4 x (x^{2} - 3)$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x (x^{2} - 3)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 3$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (x (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 (x (2 x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \cdot 1)$

Schritt 9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $x^{2} - 3$ mit $1$ .

$4 (2 x^{2} + x^{2} - 3)$

Schritt 9.2

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (3 x^{2} - 3)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 3$

Schritt 10.2

Vereine die Terme

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + 4 \cdot - 3$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$12 x^{2} - 12$