Analysis Beispiele

$5 x^{2} \cos (x) + 4 x$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} \cos (x) + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} \cos (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 4 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 4$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} (- \sin (x))) + 5 (\cos (x) (2 x)) + 4$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 (x^{2} (\sin (x))) + 5 (\cos (x) (2 x)) + 4$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- 5 x^{2} \sin (x) + 10 \cos (x) x + 4$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$- 5 x^{2} \sin (x) + 10 x \cos (x) + 4$