Analysis Beispiele

$5 \cos (x) \cot (x)$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos (x) \cot (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cot (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cot (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x)))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x))) + 5 (\cot (x) (- \sin (x)))$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 (\cos (x) (\csc^{2} (x))) + 5 (\cot (x) (- \sin (x)))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \cos (x) \csc^{2} (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$- 5 \csc^{2} (x) \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 5 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$- 5 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Schritt 5.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 5 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Schritt 5.4.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{- 5}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Schritt 5.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Schritt 5.4.6

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{5}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 5}{\sin^{2} (x)} - 5 \cot (x) \sin (x)$

Schritt 5.4.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$- \frac{5 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 \cot (x) \sin (x)$

Schritt 5.4.8

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.8.1

Füge Klammern hinzu.

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 (\cot (x) \sin (x))$

Schritt 5.4.8.2

Schreibe $- 5 \cot (x) \sin (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Schritt 5.4.8.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 \cos (x)$

Schritt 5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - 5 \cos (x)$

Schritt 5.5.2

Separiere Brüche.

$- (\frac{5}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 5 \cos (x)$

Schritt 5.5.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$- (\frac{5}{\sin (x)} \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Schritt 5.5.4

Separiere Brüche.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Schritt 5.5.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$- (\frac{5}{1} \csc (x) \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Schritt 5.5.6

Dividiere $5$ durch $1$ .

$- (5 \csc (x) \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Schritt 5.5.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 \csc (x) \cot (x) - 5 \cos (x)$