Analysis Beispiele

$10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Schritt 1.2

Da $10000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2500 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 2500$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2500 x$ nach $x$ gleich $- 2500 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2500 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2500 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 2500$ mit $1$ .

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 + x^{2}}$ als ${(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $3750$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - 2500 + 3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 16 + x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $16 + x^{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $16 + x^{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 3.5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))$

Schritt 3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))$

Schritt 3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))$

Schritt 3.12

Addiere $0$ und $2 x$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))$

Schritt 3.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))$

Schritt 3.14

Kombiniere $2$ und $\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 - 2500 + 3750 (\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Schritt 3.15

Kombiniere $\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Schritt 3.16

Bringe ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.17

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.18

Forme den Ausdruck um.

$0 - 2500 + 3750 \frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.19

Kombiniere $3750$ und $\frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 - 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2500$ von $0$ .

$- 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2500$