Analysis Beispiele

$2 \cos^{3} (e^{2 x})$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos^{3} (e^{2 x})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (e^{2 x})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (e^{2 x})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (e^{2 x})$ .

$2 (3 \cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Schritt 3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 (\cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = e^{2 x}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $e^{2 x}$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{2 x}$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Schritt 7.4.2

Stelle die Faktoren von $- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ um.

$- 12 e^{2 x} \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x})$