Analysis Beispiele

$2 \sec^{2} (2 x)$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sec^{2} (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (2 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 5

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Schritt 12

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$