Analysis Beispiele

$16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Schritt 1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 0)$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x)$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$64 (x^{2} + y^{2}) x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(64 x^{2} + 64 y^{2}) x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$64 x^{2} x + 64 y^{2} x$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$64 (x^{1} x^{2}) + 64 y^{2} x$

Schritt 4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$64 x^{1 + 2} + 64 y^{2} x$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$64 x^{3} + 64 y^{2} x$