Analysis Beispiele

$2 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)]$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)]$

Schritt 3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)]$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ und $g (x) = 4 x - 3$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x - 3] + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Schritt 6.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Schritt 6.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 + 0) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) \cdot 4 + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Schritt 6.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} - 6 x + 9$ .

$2 (4 \cdot (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Schritt 6.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Schritt 6.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Schritt 6.9

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Schritt 6.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

Schritt 6.11

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]))$

Schritt 6.12

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 + 0))$

Schritt 6.13

Addiere $2 x - 6$ und $0$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot 9 + (4 x - 3) (2 x - 6))$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 ((4 x - 3) (2 x - 6))$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 ((4 x - 3) (2 x) + (4 x - 3) \cdot - 6)$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x) - 3 (2 x) + (4 x - 3) \cdot - 6)$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x) - 3 (2 x) + 4 x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7

Vereine die Terme

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{2} + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$8 x^{2} + 2 (- 24 x) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $2$ .

$8 x^{2} - 48 x + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.4

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$8 x^{2} - 48 x + 2 \cdot 36 + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 x \cdot x) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 (x^{1} x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 x^{1 + 1}) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.10

Addiere $1$ und $1$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.11

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.13

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.14

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x + 2 (- 24 x) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.15

Mutltipliziere $- 24$ mit $2$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x - 48 x + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Schritt 7.7.16

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 6$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x - 48 x + 2 \cdot 18$

Schritt 7.7.17

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x - 48 x + 36$

Schritt 7.7.18

Subtrahiere $48 x$ von $- 12 x$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 60 x + 36$

Schritt 7.7.19

Addiere $8 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$24 x^{2} - 48 x + 72 - 60 x + 36$

Schritt 7.7.20

Subtrahiere $60 x$ von $- 48 x$ .

$24 x^{2} - 108 x + 72 + 36$

Schritt 7.7.21

Addiere $72$ und $36$ .

$24 x^{2} - 108 x + 108$