Analysis Beispiele

$x e^{x} \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x e^{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$x e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x}) + \sin (x) e^{x}$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$e^{x} x \cos (x) + e^{x} x \sin (x) + e^{x} \sin (x)$