Analysis Beispiele

$x y^{2} + y e^{x^{2}} + 5$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{2} + y e^{x^{2}} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y e^{x^{2}}$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$y^{2} + y \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$y^{2} + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y^{2} + y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$y^{2} + y (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{2} + y e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y^{2} + y e^{x^{2}} (2 x) + 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Addiere $y^{2} + y e^{x^{2}} (2 x)$ und $0$ .

$y^{2} + y e^{x^{2}} (2 x)$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$y^{2} + 2 e^{x^{2}} x y$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $y^{2} + 2 e^{x^{2}} x y$ um.

$y^{2} + 2 x y e^{x^{2}}$