Analysis Beispiele

$\frac{x - 3}{x^{3} - 27}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = x^{3} - 27$ .

$\frac{(x^{3} - 27) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x^{3} - 27) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - 27) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{3} - 27) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{3} - 27) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $x^{3} - 27$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27])}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27])}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (3 x^{2})}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} - 27 - 3 (x - 3) x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} - 27 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 27 - 3 (x^{2} x) - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 27 - 3 (x^{2} x^{1}) - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x^{2 + 1} - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x^{3} - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x^{3} + 9 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $3 x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 27 + 9 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 x^{3} + 9 x^{2} - 27}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$