Analysis Beispiele

$\frac{x + 6}{x + 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 6$ und $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$\frac{x + 2 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x + 2 - (x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 2 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 2 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 2 - (x + 6) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 2 - (x + 6)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 2 - x - 1 \cdot 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - x - 1 \cdot 6$ .

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Schritt 3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 2 - 1 \cdot 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{2 - 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$\frac{- 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$