Analysis Beispiele

$x^{4} {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 3) (x - 3))]$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 3) - 3 (x - 3))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Schritt 3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 6 x + 9)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 5.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$x^{4} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 5.6

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{4} (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 5.7

Addiere $2 x - 6$ und $0$ .

$x^{4} (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (4 x^{3})$

Schritt 5.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{4} (2 x - 6) + 4 \cdot (x^{2} - 6 x + 9) x^{3}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + 4 (x^{2} - 6 x + 9) x^{3}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + (4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot 9) x^{3}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4

Vereine die Terme

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Schritt 6.4.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 6.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.3

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 6 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.4.3

Addiere $3$ und $2$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.6

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 (x^{3} x) + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.6.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 6.4.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{3 + 1} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{4} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Schritt 6.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{4} + 36 x^{3}$

Schritt 6.4.8

Addiere $2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 6 x^{4} - 24 x^{4} + 36 x^{3}$

Schritt 6.4.9

Subtrahiere $24 x^{4}$ von $- 6 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$