Analysis Beispiele

$x^{3} \sin (3 x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (3 x^{2})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})] + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2}$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$x^{3} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2}$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (3 (2 x))) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (6 x)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{4} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\cos (3 x^{2})$ .

$x^{4} (6 \cdot \cos (3 x^{2})) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} (6 \cos (3 x^{2})) + \sin (3 x^{2}) (3 x^{2})$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$6 x^{4} \cos (3 x^{2}) + 3 x^{2} \sin (3 x^{2})$