Analysis Beispiele

$x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = t x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t x$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $t x$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Schritt 2.2

Da $t$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $t x$ nach $x$ gleich $t \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

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Schritt 3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x))]$

Schritt 3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x^{1}))]$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{1 + 1})]$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{2})]$

Schritt 3.5

Da $3 t$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 t x^{2}$ nach $x$ gleich $3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t (2 x)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 6 t x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $t x$ an.

$3 x^{2} + 3 (t^{2} x^{2}) t + 6 t x$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) x^{2} + 6 t x$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} + 3 t^{1 + 2} x^{2} + 6 t x$

Schritt 4.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{2} + 3 t^{3} x^{2} + 6 t x$