Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} + \frac{3}{x y}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3} + \frac{3}{x y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

Schritt 1.3

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{3}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x y}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{y} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} (- x^{- 2})$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{3}{y}$ und $x^{- 2}$ .

$3 x^{2} + 0 - \frac{3 x^{- 2}}{y}$

Schritt 2.5

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} + 0 - \frac{3}{y x^{2}}$

Schritt 3

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{y x^{2}}$