Analysis Beispiele

$x^{e x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{e x}$ als $e^{\ln (x^{e x})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e x})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{e x})$ durch Herausziehen von $e x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{e x \ln (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = e x \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $e x \ln (x)$ .

$e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Schritt 3

Da $e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e x \ln (x)$ nach $x$ gleich $e \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{e x \ln (x)} (e \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Schritt 4

Multipliziere $e^{e x \ln (x)}$ mit $e$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $e$ .

$e e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $e$ mit $e^{e x \ln (x)}$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$e^{1} e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{1 + e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x))$