Analysis Beispiele

$x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x \sin (x)$ von $\sin (x) (2 x)$ .

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $\sin (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $2 x \sin (x)$ von $2 x \sin (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + 0 + 2 \cos (x)$

Schritt 4.2.3

Addiere $x^{2} \cos (x)$ und $0$ .

$x^{2} \cos (x) + 2 \cos (x)$