Analysis Beispiele

$x^{2} {(6 - x)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 6 - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

Schritt 3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x {(6 - x)}^{2}$ aus $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x {(6 - x)}^{2}$ aus $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ heraus.

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x {(6 - x)}^{2}$ aus $2 {(6 - x)}^{3} x$ heraus.

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x {(6 - x)}^{2}$ aus $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ heraus.

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

Schritt 4.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.3

Schreibe ${(6 - x)}^{2}$ als $(6 - x) (6 - x)$ um.

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.4

Multipliziere $(6 - x) (6 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.5.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.5.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.7

Vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Bringe $36$ auf die linke Seite von $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.7.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.7.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.7.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.7.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.8.1

Bewege $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Schritt 4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

Schritt 4.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

Schritt 4.10

Subtrahiere $2 x$ von $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

Schritt 4.11

Multipliziere $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.12.2.1

Bewege $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.3

Mutltipliziere $36$ mit $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.4

Mutltipliziere $12$ mit $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.12.6.1

Bewege $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.12.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.7

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.8

Mutltipliziere $12$ mit $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.10

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.12.10.1

Bewege $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 4.12.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.10.3

Addiere $1$ und $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

Schritt 4.12.11

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Schritt 4.13

Subtrahiere $144 x^{2}$ von $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Schritt 4.14

Addiere $60 x^{3}$ und $12 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$