Analysis Beispiele

$x^{2} (2 x - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$x^{2} \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} + (2 x - 1) (2 x)$

Schritt 2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x - 1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot (2 x - 1) x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} + 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x$

Schritt 3.3.7

Addiere $2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 2 x$