Analysis Beispiele

$\int_{0}^{7} \sqrt{7 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 7 x$ . Dann ist $d u = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 1.1.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 7 x$ ein.

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 7 x$ ein.

$u_{upper} = 7 \cdot 7$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$u_{upper} = 49$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 49$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{7} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{7}$ .

$\int_{0}^{49} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{49}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $49$ und $0$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 6.2.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Schritt 6.2.11

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Schritt 6.2.12

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0)$

Schritt 6.2.13

Addiere $\frac{686}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{686}{3}$

Schritt 6.2.14

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{686}{3}$ .

$\frac{686}{7 \cdot 3}$

Schritt 6.2.15

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{686}{21}$

Schritt 6.2.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $686$ und $21$ .

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Schritt 6.2.16.1

Faktorisiere $7$ aus $686$ heraus.

$\frac{7 (98)}{21}$

Schritt 6.2.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.16.2.1

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

Schritt 6.2.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

Schritt 6.2.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{98}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{98}{3}$

Dezimalform:

$32.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$32 \frac{2}{3}$

Schritt 8