Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{1}{\arctan (3 t)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{\arctan (3 t)}$ als ${\arctan (3 t)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d t} [{\arctan (3 t)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = \arctan (3 t)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\arctan (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\arctan (3 t)$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \arctan (t)$ und $g (t) = 3 t$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t$ heraus.

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 (t))}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 (t)$ an.

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 3^{2} t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + 9 t^{2}}$ und ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ .

$- \frac{{\arctan (3 t)}^{- 2}}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 4.2.3

Bringe ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 4.3

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \cdot 1$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3}{1 {\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere ${\arctan (3 t)}^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere ${\arctan (3 t)}^{2}$ aus ${\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere ${\arctan (3 t)}^{2}$ aus $9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ heraus.

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere ${\arctan (3 t)}^{2}$ aus ${\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})$ heraus.

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} (1 + 9 t^{2})}$