Analysis Beispiele

$f (s) = (s^{6} + 1) e^{- s^{6}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ gleich $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ ist mit $f (s) = s^{6} + 1$ und $g (s) = e^{- s^{6}}$ .

$(s^{6} + 1) \frac{d}{d s} [e^{- s^{6}}] + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = e^{s}$ und $g (s) = - s^{6}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- s^{6}$ .

$(s^{6} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d s} [- s^{6}]) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(s^{6} + 1) (e^{u} \frac{d}{d s} [- s^{6}]) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- s^{6}$ .

$(s^{6} + 1) (e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [- s^{6}]) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- s^{6}$ nach $s$ gleich $- \frac{d}{d s} [s^{6}]$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- \frac{d}{d s} [s^{6}]) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- (6 s^{5})) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} \frac{d}{d s} [s^{6} + 1]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $s^{6} + 1$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [s^{6}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (\frac{d}{d s} [s^{6}] + \frac{d}{d s} [1])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5} + \frac{d}{d s} [1])$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $s$ gleich $0$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5} + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $6 s^{5}$ und $0$ .

$(s^{6} + 1) e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(s^{6} e^{- s^{6}} + 1 e^{- s^{6}}) (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$s^{6} e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + 1 e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$s^{5 + 6} e^{- s^{6}} \cdot - 6 + 1 e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Schritt 4.3.2

Addiere $5$ und $6$ .

$s^{11} e^{- s^{6}} \cdot - 6 + 1 e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Schritt 4.3.3

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $s^{11} e^{- s^{6}}$ .

$- 6 \cdot (s^{11} e^{- s^{6}}) + 1 e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $e^{- s^{6}}$ mit $1$ .

$- 6 s^{11} e^{- s^{6}} + e^{- s^{6}} (- 6 s^{5}) + e^{- s^{6}} (6 s^{5})$

Schritt 4.3.5

Bewege $e^{- s^{6}}$ .

$- 6 s^{11} e^{- s^{6}} - 6 s^{5} e^{- s^{6}} + 6 s^{5} e^{- s^{6}}$

Schritt 4.3.6

Addiere $- 6 s^{5} e^{- s^{6}}$ und $6 s^{5} e^{- s^{6}}$ .

$- 6 s^{11} e^{- s^{6}} + 0$

Schritt 4.3.7

Addiere $- 6 s^{11} e^{- s^{6}}$ und $0$ .

$- 6 s^{11} e^{- s^{6}}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $- 6 s^{11} e^{- s^{6}}$ um.

$- 6 e^{- s^{6}} s^{11}$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $- 6 e^{- s^{6}} s^{11}$ um.

$- 6 s^{11} e^{- s^{6}}$