Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{4 t}{4 + \sqrt{t}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = 4 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{(4 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{(4 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4 + t^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $t$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11

Multipliziere $t^{- \frac{1}{2}}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $t^{- \frac{1}{2}}$ mit $t$ .

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Schritt 11.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12

Um $t^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13

Kombiniere $t^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 15

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 16

Subtrahiere $t^{\frac{1}{2}}$ von $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 17

Mutltipliziere $\frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 18

Kombinieren.

$4 \frac{2 (4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 19

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \frac{2 \cdot 4 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{2 \cdot 4 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 20.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{2 \cdot 4 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 21

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 22

Kombiniere $4$ und $\frac{8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{4 (8 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 23

Faktorisiere $2$ aus $4 (8 + t^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 24

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 24.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 24.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 24.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (8 + t^{\frac{1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 25

Vereinfache.

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Schritt 25.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 8 + 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 25.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16 + 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 25.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Schritt 25.4

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{\frac{1}{2}} + 16$ heraus.

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Schritt 25.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}}) + 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Schritt 25.4.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 8}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Schritt 25.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 8$ heraus.

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} + 8)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$