Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{5}{t^{3}} - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5}{t^{3}} - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{t^{3}}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{t^{3}}$ als ${(t^{3})}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{3}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $t^{3}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t^{3}$ .

$5 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$5 (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.7

Multipliziere $t^{- 6}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1

Bewege $t^{2}$ .

$5 (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$5 (- 3 t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$- 15 t^{- 4} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{t^{2}}$ nach $t$ gleich $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{t^{2}}$ als ${(t^{2})}^{- 1}$ um.

$- 15 t^{- 4} - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t^{2}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t^{2}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.7

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{t}$ als $t^{- 1}$ um.

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} - t^{- 2}$

Schritt 5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 t^{- 3} - t^{- 2}$

Schritt 6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - t^{- 2}$

Schritt 7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereine die Terme

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{t^{4}}$ .

$\frac{- 15}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Schritt 8.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{t^{3}}$ .

$- \frac{15}{t^{4}} + \frac{8}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Schritt 8.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{8}{t^{3}} - \frac{15}{t^{4}}$