Analysis Beispiele

$f (t) = - 3 t {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Schritt 1

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3 t {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ nach $t$ gleich $- 3 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{8} - 1)}^{7}]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{8} - 1)}^{7}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ .

$- 3 (t \frac{d}{d t} [{(5 t^{8} - 1)}^{7}] + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{7}$ und $g (t) = 5 t^{8} - 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 t^{8} - 1$ .

$- 3 (t (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$- 3 (t (7 u^{6} \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 t^{8} - 1$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 t^{8} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (\frac{d}{d t} [5 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.2

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t^{8}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t^{8}]$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (5 \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (5 (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7} + 0)) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $40 t^{7}$ und $0$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7})) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $40$ mit $7$ .

$- 3 (t (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6} t^{7}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- 3 (t^{7} t^{1} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 (t^{7 + 1} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 7

Addiere $7$ und $1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \cdot 1)$

Schritt 9

Mutltipliziere ${(5 t^{8} - 1)}^{7}$ mit $1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6})) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $280$ mit $- 3$ .

$- 840 (t^{8} ({(5 t^{8} - 1)}^{6})) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Schritt 10.3

Faktorisiere $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ aus $- 840 t^{8} {(5 t^{8} - 1)}^{6} - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ heraus.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ aus $- 840 t^{8} {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ heraus.

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ aus $- 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ heraus.

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) + 3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- (5 t^{8} - 1))$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ aus $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) + 3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- (5 t^{8} - 1))$ heraus.

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8} - (5 t^{8} - 1))$