Analysis Beispiele

$f (t) = \sqrt{\cos (3 t)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\cos (3 t)}$ als ${\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [{\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = \cos (3 t)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (3 t)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 7.3

Bringe ${\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 3 t$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 t$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Schritt 8.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 t$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\sin (3 t)$ .

$- \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 9.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$