Analysis Beispiele

$\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$

Schritt 1

Stelle $e^{2 θ}$ und $\sin (3 θ)$ um.

$\int \sin (3 θ) e^{2 θ} d θ$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (3 θ)$ und $d v = e^{2 θ}$ .

$\sin (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (3 \cos (3 θ)) d θ$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2} \cdot 3$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot 3$ aus dem Integral.

$\sin (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 θ}$ .

$\sin (3 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Schritt 4.2

Kombiniere $\sin (3 θ)$ und $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

Schritt 4.4

Stelle $e^{2 θ}$ und $\cos (3 θ)$ um.

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} \int \cos (3 θ) e^{2 θ} d θ)$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (3 θ)$ und $d v = e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 3 \sin (3 θ)) d θ))$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2} \cdot - 3$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot - 3$ aus dem Integral.

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Schritt 7.2

Kombiniere $\cos (3 θ)$ und $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Schritt 7.6

Multipliziere.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + 1 (\frac{3}{2}) (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)$

Schritt 7.6.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{3}{2} (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{- 3}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Schritt 7.8

Multipliziere.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 9}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 9}{4} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4}}{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4}}{\frac{13}{4}} + C$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 θ) e^{2 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cdot (\cos (3 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{13}{4}} + C$

Schritt 9.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{13}{4}$ zu dividieren.

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cos (3 θ) e^{2 θ}}{4}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cos (3 θ) e^{2 θ}}{4}) \frac{4}{13} + C$ als $(\frac{1}{2} \sin (3 θ) e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$ um.

$(\frac{1}{2} \sin (3 θ) e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (3 θ)$ .

$(\frac{\sin (3 θ)}{2} e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $\frac{\sin (3 θ)}{2}$ und $e^{2 θ}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $\cos (3 θ)$ und $\frac{3}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) \cdot 3}{4} e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.3.4

Kombiniere $e^{2 θ}$ und $\frac{\cos (3 θ) \cdot 3}{4}$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{e^{2 θ} (\cos (3 θ) \cdot 3)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 θ)$ .

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Stelle die Faktoren in $\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2}$ um.

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.2.1

Forme um.

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (\cos (3 θ) \cdot 3)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.4.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 θ)$ .

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cdot \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.4.2.3

Entferne unnötige Klammern.

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} \cdot 3 \cos (3 θ)}{4}) \frac{4}{13} + C$

Schritt 9.4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{2 θ}$ .

$(\frac{1}{2} e^{2 θ} \sin (3 θ) - \frac{3}{4} e^{2 θ} \cos (3 θ)) \frac{4}{13} + C$