Analysis Beispiele

$f (x) = {(\frac{1}{2} x)}^{5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{2} x$ .

$5 {(\frac{1}{2} x)}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4} \cdot 1$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{4}}{2^{4}}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{4}}{16}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{x^{4}}{16}$ .

$\frac{5 x^{4}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{5 x^{4}}{32}$